Cette séance présente un double objectif mathématique et historique.
Sur le plan mathématique, il s’agit surtout de réviser les calculs sur les fractions et travailler une première approche intuitive des suites via le tableur.
Côté historique, la séance vise à lutter contre un biais très fréquent chez les élèves qui consiste à voir les mathématicien.nes comme des génies solitaires. Basée sur un extrait de la correspondance de Fermat, la fiche d’activité présente plusieurs savants (Kenelm Digby, Bernard Frénicle, et John Wallis) et invite à expliciter les liens entre eux tels qu’ils apparaissent au travers de lettres échangées.
La fiche élève : 4_fractions_correspondance_fiche
Notice complémentaire pour l’enseignant : 4_fractions_notice_historique
Niveau quatrième / Année 2024
Cette activité est assez longue et nécessite plus qu’une séance.
Extrait 1 : Découverte d’une lettre ancienne
Il n’est pas très courant pour les élèves de lire des lettres de mathématiciens. Le début de la fiche d’activité est l’occasion de poser directement le contexte d’échanges de lettres et donc de l’importance de la communication au sein d’une communauté scientifique. Il n’est pas rare que certains élèves ne connaissent pas le mot “correspondance”, il convient alors de l’expliciter. Les termes “juriste” et “recueil” peuvent également être inconnus.
Extrait 2 : Nouvelle écriture pour les fractions et calculs
Une fois le support historique compris, les élèves peuvent en découvrir le contenu mathématique. Cette lettre de Fermat donne à voir une écriture un peu particulière des nombres avec un entier et une fraction écrite en petit, cette dernière n’étant pas nécessairement inférieure à un.
Sans difficulté particulière, la première question permet de retravailler la mise au même dénominateur pour l’addition de fractions.
Extrait 3 : Multiplication de fractions
Le travail sur les fractions se poursuit dans la question 2 où il faut cette fois multiplier des fractions. C’est l’occasion de revoir deux approches différentes, soit par la multiplication directe des numérateurs et dénominateurs entre-eux, soit en optimisant le calcul en utilisant des décompositions multiplicatives des nombres et en simplifiant.
Extrait 4 : La question de Wallis !
Contrairement à beaucoup de séances utilisant des supports historiques, dans cette mise en oeuvre, le choix a été fait d’explorer d’abord le contenu mathématique (notations, nombres en jeu, calculs, etc.) avant d’entrer dans cette lettre de Fermat à Digby. Comme on peut le voir dans cet extrait vidéo, la compréhension du contenu de la lettre et des rôles des différents acteurs n’est pas évidente pour les élèves ce qui aurait pu bloquer l’envie d’entrer dans les calculs.
Dans la classe filmée, la première séance s’arrêtait ici.
Extrait 5 : Effet de l’augmentation du dénominateur sur l’ordre
Dans la deuxième partie de séance, la question 4 permet de se replonger dans le travail sur les fractions cette fois directement à partir du texte. On retrouve l’intérêt de bien préciser le vocabulaire lié aux fractions. La propriété présentée dans le texte est peu intuitive pour les élèves et l’enseignant pourra revenir sur la définition d’une fraction pour l’expliquer.
Extrait 6 : Valeurs approchées et conjecture sur le sens de variation
Dans la suite de la lettre, ce sont à la fois les numérateurs et les dénominateurs qui évoluent. Il y a ici un petit travail de lecture afin de comprendre la règle de construction de la suite de nombres mais aussi pour identifier le fait qu’il n’est pas possible d’en déduire immédiatement le sens de progression. On passe ainsi aux valeurs approchées pour pouvoir conjecturer, ce qui est aussi l’occasion de revenir sur les règles d’arrondis.
Extrait 7 : Travail avec le tableur
La dernière partie de l’étude de la suite de nombres proposée dans la lettre de Fermat se fait à l’aide du tableur. Cette étape est plus ou moins rapide en fonction de la familiarité ou non des élèves avec cet outil.
Fin de l’activité
La fin de l’activité est un retour à l’histoire des mathématiques et le rôle important des correspondances. Le petit diagramme était à faire à la maison car la séance était déjà terminée. On pourra se référer à la notice enseignant donnée en haut de cette page pour mieux comprendre l’intérêt de cette partie et comment l’aborder avec les élèves.