La séance suivante est consacrée à un travail sur l’extrait d’un texte de Viète sur la résolution d’équations de degré 3. Il s’agit d’une expérimentation ponctuelle réalisée par deux étudiants de master 1. Les deux étudiants interviennent alternativement selon un plan prévu à l’avance.
La fiche élève : 2_equa_cube_fiche_eleve
Niveau : seconde / Année 2012
Extrait 1 : Une présentation historique
Contrairement à d’autres séances filmées qui relèvent souvent de pratiques ordinaires de classe, celle-ci a fait l’objet d’un travail en amont avec les étudiants.
La séance est introduite par la présentation d’éléments biographiques sur François Viète qui s’avère inconnu des élèves. L’extrait ci-dessous intervient juste après ces quelques apports donnés par un premier étudiant.
Le deuxième étudiant prend la suite en réalisant un premier travail de lecture du texte ancien. L’explicitation des termes est très importante ; elle se fait dans une phase dialoguée avec la classe.
Durant leur année de master, les étudiants ont suivi un cours d’histoire des mathématiques que l’on voit ici réinvesti par l’étudiant qui présente le travail en créant un parallèle entre la pratique historienne et l’exercice proposé aux élèves. La nature des documents est aussi clairement explicitée. Ces deux aspects sont rarement mis en avant en classe.
Extrait 2 : Discussion autour de la division par (A + B)
Le travail d’interprétation du texte est assez long, mais il permet de mettre le doigt sur des difficultés mathématiques que peuvent rencontrer les élèves.
Dans la fin de l’extrait, la discussion autour de la condition pour que (A + B) soit non nul montre la difficulté pour les élèves à faire des allers-retours entre la notion d’opposé et la manipulation formelle du signe moins, des nombres et des lettres. On y voit aussi les malentendus qui en résultent avec l’enseignant.
Extrait 3 : Traduction du texte
Après les explications à propos de la terminologie employée dans le texte, les élèves sont invités à le traduire dans un langage mathématique scolaire moderne.
Ici, le travail semble parfois formel, à la manière d’une traduction mot à mot, et un peu déconnecté du travail sur la signification des expressions utilisées. Vers la fin de l’extrait, un élève place, par exemple, un trait de fraction sous l’ensemble de l’égalité, signe égal inclus, pour traduire « Que tous soient divisés… ».
Extrait 4 : Si … alors …
La lecture d’un texte de mathématicien est l’occasion d’engager un travail réflexif sur l’écriture des mathématiques. Dans cet extrait, l’enseignant interpelle ses élèves sur la formulation « si … alors … ».
Ce type de tâche ouvre notamment des perspectives pour un travail sur les notions de logique en lycée.
Extrait 5 : Structure du texte et statut des énoncés
Après sa traduction en langage moderne, l’enseignant propose aux élèves de repérer dans le texte de Viète une structure de la forme théorème – preuve – exemple. Il s’agit là d’une forme d’écriture usuelle dans l’enseignement supérieur qui n’est pas familière pour des élèves de seconde.
Extrait 6 : Le cœur de la preuve et le calcul littéral
La classe s’intéresse aux différentes manipulations qui permettent de passer d’une ligne à l’autre dans le texte écrit en langage mathématiques moderne. Ce travail d’algèbre formel est motivé par la volonté de comprendre la démarche présentée dans le texte historique. Un passage délicat est travaillé par le professeur, il s’agit de diviser une expression littérale par la somme A+B.
Le développement d’expressions littérales est une activité qui pose des difficultés en classe de seconde. Par exemple, une des élèves semble systématiquement repousser l’exposant 2 à la fin des termes du développement. Elle confond aussi les écritures de l’élévation au carré et de la multiplication par 2.
Extrait 7 : Quand on ne s’y attend pas …
La séance est terminée, mais un élève vient discuter avec les étudiants. Cet élève vient de remarquer que la deuxième preuve est en fait la même que la première si l’on remplace A par -A. L’un des étudiants réagit en expliquant que les mathématiciens de cette époque « n’avaient pas la connaissance des nombres négatifs », ce qui oblige à envisager différents cas de figure.
Cette difficulté historique fait écho à la réticence des élèves à considérer qu’une lettre puisse représenter un nombre négatif (voir deuxième extrait vidéo de cette séance).